Dalam matematika, persamaan kuadrat baru adalah suatu persamaan kuadrat yang dibentuk berdasarkan akar dan masih berkaitan dengan akar persamaan kuadrat lama. Agar dapat menyusun persamaan kuadrat tersebut, dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, diperlukan rumus yang diperoleh dengan cara memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.
ax² + bx + c = 0
x1 + x2 = -b/a
x1 . x2 = c/a
Persamaan yang digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru adalah sebagai berikut.
• Persamaan kuadrat awal adalah ax² + bx + c = 0
• Persamaan kuadrat baru adalah x² - (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
Jadi, x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat. Kemudian, untuk mencari persamaan kuadrat baru dapat menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
• Dengan cara menentukan jumlah dari hasil perkalian akar pada persamaan kuadrat awal.
• Dengan cara menentukan jumlah dan juga hasil perkalian pada akar-akar persamaan kuadrat baru yang telah diketahui.
• Dengan cara membentuk persamaan kuadrat baru yang sesuai rumus yang telah diberikan, yaitu x² - (x1 + x2)x + x1. x2 = 0 atau (x - x1) (x - x2) = 0
Rumus:
x² - (x1 + x2)x + x1. x2 = 0 atau (x - x1) (x - x2) = 0
Contoh soal:
(1) Persamaan dengan kuadrat x^2 – 5x + 2 = 0 memiliki akar – akar yang diantaranya adalah a dan b, sedangkan pada persamaan kuadrat yang akar – akarnya a2 dan b2 ialah ?
A. x^2 – 21x + 4 = 0
B. x^2 + 21x + 4 = 0
C. x^2 + 21x – 4 = 0
D. x^2 – 21x – 4 = 0
E. – x^2 – 21x + 4 = 0
Jawabannya: A
Pembahasannya: Dengan berdasarkan persamaan kuadrat x^2 – 5x + 2 = 0 dapat diperoleh dengan :
a + b = 5
a ⋅ b = 2
Sampai, jumlahan pada akar – akar yang baru :
a2 + b2 = (a + b)2 – ab
= 52 – 2(2)
= 25 – 4
= 21
Hasil dari perkalian pada akar – akar baru yaitu :
a2 ⋅ b2 = (ab)2
= 22
= 4
Sampai, pada persamaan kuaddrat barunya ialah x^2 – 21x + 4 = 0
(2) Apabila a dan b ini merupakan akar – akar dari persamaan kuadrat yaitu x^2 – x + 3 = 0, dan pada persamaan kuadratnya yang baru maka akar – akarnya yaitu a2 – a dan b2 – b ialah ?
A. x^2 – 6x + 9 = 0
B. x^2 + 6x + 9 = 0
C. x^2 + 6x – 9 = 0
D. x^2 – 6x – 9 = 0
E. -x^2 + 6x + 9 = 0
Jawabannya: B
Pembahasannya: Dari persamaan kuadratnya yaitu : X2 – x + 3 = 0
a + b = 1
ab = 3
Maka jumlah pada akar – akar baru yaitu :
a2 – a + b2 – b = a2 + b2 – a – b
= (a + b)2 – 2ab – (a + b)
= 12 – 2 ⋅ 3 – 1
= 1 – 6 – 1
= -6
Pada perkalian akar – akar baru yaitu :
(a2 – a) (b2 – b) = (ab)^{2} – ab (a + b) + ab
= 32 – 3(1) + 3
= 9
Jadi, pada persamaan kuadratnya yang baru ialah x^2 + 6x + 9 = 0
(3) Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 2x + 3 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (α – 2) dan (β – 2) adalah ….
Pembahasan: Berdasarkan persamaan kuadrat tersebut, nilai a = 1, b = 2, dan c = 3. Dari ketiga nilai tersebut dapat diperoleh :
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat:
α + β = ‒b/a
α + β = ‒2/1 = ‒2
2. Perkalian akar-akar persamaan kuadrat:
α × β = c/a
α × β = 3/1 = 3
Untuk persamaan kuadrat baru, maka jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar dapat ditentukan seperti pada dua cara berikut.
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat:
(α – 2) + (β – 2) = α + β – 4
= –2 – 4
= –6
2. Hasil kali perkalian akar-akar persamaan kuadrat:
(α – 2)(β – 2) = αβ – 2α – 2β + 4
= αβ – 2(α +β) + 4
= 3 – 2(–2) + 4
= 3 + 4 + 4
= 11
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (α – 2) dan (β – 2) dapat ditentukan seperti cara berikut.
x^2 – ( x1 + x2 )x + ( x1 ⋅ x2) = 0
x^2 – ( – 6)x + 11 = 0
x^2 + 6x + 11 = 0
(4) Jika x1 dan x2 yakni akar-akar dari persamaan kuadrat 2x^2 + 4x + 7 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya berkebalikan dengan persamaan kuadrat tersebut.
Pembahasan: Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahasa soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.
Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : 2x^2 + 4x + 7 = 0
Dik : a = 2, b = 4, dan c = 7
Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -4/2
⇒ x1 + x2 = -2
Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 7/2
Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya berkebalikan (1/x1 dan 1/x2).
Jumlah akar :
⇒ 1/x1 + 1/x2 = 1/(x1 + x2)
⇒ 1/x1 + 1/x2 = -b/c
⇒ 1/x1 + 1/x2 = -4/7
Hasil kali akar :
⇒ 1/x1 . 1/x2 = 1/(x1 . x2)
⇒ 1/x1 . 1/x2 = a/c
⇒ 1/x1 . 1/x2 = 2/7
Dengan demikian, persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya 1/x1 dan 1/x2 yakni :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-4/7)x + 2/7 = 0
⇒ 7x^2 + 4x + 2 = 0
(5) Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 3x – 40 = 0.
Jawaban
a = 1
b = 3
c = -40
Akar 1 = x1 + x2 = -b/a = -3/1 = -3
Akar 2 = x1 . x2 = c/a = -40/1 = -40
Akar 1 = 2 . x1 + 2 . x2
= 2 (x1 + x2)
= 2 (-3)
= -6
Akar2= (2 . x1) (2 . x2)
= 4 (x1 . x2)
= 4 (-40)
= -160
x2 – (2 (x1 + x2))x + (4 (x1 . x2)) = 0
x2 – (-6)x + (-160) = 0
x2 + 6x – 160 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x^2 + 6x – 160 = 0
(6) Akar-akar persamaan kuadrat 2x^2 + 8x – 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah persamaan kuadrat baru dalam y yang akar-akarnya 3p – 2 dan 3q – 2.
a = 2
b = 8
c = -5
Akar 1 = p +q = -b/a = -8/2 = -4
Akar 2 = p . q = c/a = -5/2
Akar 1 = (3p - 2) + (3q -2)
= 3 (p + q) - 4
= 3 (-4) - 4
= (-12) -4
= -16
Akar 2 = (3p - 2) (3q - 2)
= 9pq - 6p - 6q + 4
= 9 (p . q) - 6p - 6q + 4
= 9 (-5/2) - 6 (-4) + 4
= -45/2 + 24 + 4
= -22 (1/2) + 28
= 5 1/2
x2 - ((3p - 2) + (3q - 2))x + ((3p - 2) (3q -2)) = 0
x2 - (-16)x + 5 1/2 = 0
x2 + 16x + 5 1/2 = 0
2x2 + 32x + 11 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah 2x^2 + 32x + 11 = 0
(7) Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar- akarnya 3 kurangnya dari akar-akar persamaan x^2 + x + 6 = 0
Jawaban:
Diketahui:
x^2 + x + 6 = 0. Jadi, a = 1 , b = 1 , dan c = 6
Maka:
alpha + beta = (- b)/a = - 1/1 = - 1
alpha × beta = c/a = 6/1 = 6
Misal akar persamaan kuadrat baru X1 dan X2.
x_{1} = alpha - 3
x_{2} = beta - 3
X1 + x2 =α-3+8-3 = (alpha + beta) - 6 =(-1)-6 =-7
X1 X2 = (a-3).(3-3)
=a.3-3a-38+9 = 6-3.(a + B) +9 =6-3.(-1)+9 = 6 + 3 + 9 = 18
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah: x^2 - (x_{1} + x_{2}) * x +(x 1 .x 2 )=0
x ^ 2 - (- 7) * x + 18 = 0 x²+7x+18=0
(8) Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kurangnya akar-akar persamaan x2 -5x + 1 = 0 adalah ...
misalkan akar-akar persamaan kuadrat yanga ada di soal adalah p dan q.
Maka,
p + q = -b/a = 5
pq = c/a = 1
Karena akar-akarnya 3 kurangnya maka
x1 = p - 3
x2 = q - 3
x1 + x2 = p - 3 + q - 3 = (p + q) - 6 = 5 - 6 = -1
x1.x2 = (p - 3).(q - 3) = pq - 3p - 3q + 9= pq - 3(p + q) + 9 = 1 - 15 + 9 = -5
Maka persamaan kuadrat barunya adalah
x2 - (x1+ x2) x + x1.x2 = 0
x2 + x -5 = 0
Anggota Kelompok 3:
> Adyan Islam (2)
> Laisha Dian (18)
> Landhoeng Sukma (19)
> M. Akhdan (21)
> Naaila Izzata (24)
> Rafi Maulana (27)
> Rennanditya (29)
> Syella Novia R (34)
> Tiara Amelia (35)
Link YouTube🔗 : Persamaan Kuadrat Baru oleh Kelompok 3, Kelas X5
Sumber soal dan Pengertian :
https://kumparan.com/kabar-harian/persamaan-kuadrat-baru-pengertian-rumus-dan-contoh-soalnya-1xL1zRcStx5
https://www.wardayacollege.com/matematika/aljabar/persamaan-kuadrat/menyusun-persamaan-kuadrat-baru/
https://idschool.net/sma/cara-menentukan-persamaan-kuadrat-baru/#rumus-untuk-menentukan-persamaan-kuadrat-baru
