1. Sebuah mobil sedang menuruni bukit dari atas ke bawah. Ketinggian mobil setiap detiknya dinyatakan dengan rumus h(x) = 120 + 2t - t². Berdasarkan rumus kapan mobil akan sampai di bawah bukit ?
Pembahasan :
h(x) = 0
0 = 120 + 2t - t²
t² - 2t -120 = 0
(t-12)(t+10) = 0
t = 12 atau t = -10
Karena tidak ada waktu yang nilainya negatif. Jadi yang cocok adalah t = 12, yaitu mobil akan sampai di bawah bukit dalam waktu 12 detik.
2. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan dengan h(t)=-4t²+40t. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan.
Pembahasan:
h(t)=-4t²+40t
y=-4x²+40x
Xp=-b/2a=-40/2(-4)
=-40/-8=5 detik
h(5)=-4(5)²+40(5)
=-4(25)+200
=-100+200
=100 meter
3. Jumlah dua kali sisi samping dengan sisi depan suatu segitiga siku-siku adalah 24 cm. Dengan menggunakan model matematika dalam bentuk fungsi kuadrat, maka nilai terbesar untuk luas segitiga tersebut adalah
Pembahasan :
Misalkan sisi samping x dan sisi depan y.
Jumlah sisi :
=> 2x + y = 24
=> y = 24-2x
Model matematika untuk luas segitiga => L= ½ alas x tinggi
=> L= ½ x.y L= ½ x (24 - 2x)
=> L=12x-x2
=> L = -x² + 12x
Model matematika untuk luasnya adalah :
=> L(x) = -x² + 12x
Dik a = =-1, b = 12, c = 0.
untuk menentukan luas terbesar, dapat digunakan rumus sebagai berikut :
=> L = - b² - 4. a. c / 4.a
=> L = - 12²-4.(1).0 / 4(-1)
=> L = 36 cm²
4. Seorang siswa memotong selembar kain. Kain hasil potongannya berbentuk persegi panjang dengan keliling 80 cm. Apabila siswa tersebut berharap mendapatkan kain hasil potongan mempunyai luas maksimum, tentukan panjang dan lebar kain.
pembahasan:
K => 2 (P+L)=80
P+L=40
L=40-p
L = 40-20
L = 20 cm
L=P×L
=p (40-p)
L=40p-p²
Y=40x-x²
Xp= -b/2a= -40/4(-1) = 20
p= 20 cm
5. Lia menaiki sebuah balon udara,dimana dalam waktu X balon udara memiliki fungsi f(x)=-16x²+112x-91.
Tentukan tinggi maksimum balon udara tersebut
Pembahasan :
Fungsi f(x) = - 16x ^ 2 + 112x - 91 merupakan tinggi balon udara
a = - 16 < 0 (negatif)
b = 112
c = - 91
maka grafik terbuka ke bawah dan grafik memiliki titik puncak maksimum
Tinghi maksimum
ye = - D / 4a
=-(b²-4ac)/4a
=-(112²-4.(-16).(-91))/(4.(-16))
=-6720/(-64)
= 105 meter
6. Seutas kawat sepanjang 80 cm akan dibentuk menjadi sebuah persegi panjang. Tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.
pembahasan:
L=P x l
K=2( p + l )
80 = 2 ( p + l )
p + l = 40
l = 40-p
L= p x l
= p x ( 40 -p )
L = 40p - p ^ 2
1 = 40.2 - 40n
= 800 - 400
400 cm ²
k = -b/2a
p= -40/2(-1)
= -20
7. Om Ali memiliki pabrik sandal dan memproduksi x pasang sandal setiap jam dengan biaya produksi (2x - 60 + 600/x) ribu rupiah setiap pasang. biaya produksi total minimum perjam adalah…
A. Rp. 10.000,00
B. Rp. 15.000,00
C. Rp. 150.000,00
D. Rp. 250.000,00
Jawaban :
biaya = (2x - 60 + 600/x)
y = 2x² - 60x + 600
yp = -D/4a
= - (b² - 4ac/4a)
= - ((-60)² - 4.2.600/4.2)
= - (3600 - 4800/8)
= - (-1200/8)
= 150
Jadi, biaya produksi total minimum perjam adalah Rp. 150.000,00 (C)
8. Jumlah dua bilangan x dan y sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu dinyatakan dengan P, maka persamaan P sebagai fungsi x adalah ....
Pembahasan:
Jumlah bilangan:
=> x + y = 20
=> y = 20 - x
Hasil kali:
=> P = x.y
=> P = x (20 - x)
=> P = 20x - x²
=> P = -x² + 20x
Jadi model matematika untul P sebagai fungsi x adalah:
=> P(x) = -x² + 20x
9. Seorang ahli optik hendak membuat teleskop pantul Newtonian, dimana ia harus membubut permukaan kaca sedemikian rupa, sehingga akan membentuk permukaan parabola. Barulah kemudian ia dapat melapisi kaca dengan lapisan pemantul.
Jika cermin yang ingin dibuatnya memiliki fungsi kuadrat sebagai X^2 - 15X + 6, berapa titik fokus cermin itu? (Semua satuan adalah baku [m, kg, s])
Solusi:
Suatu kurva parabola memiliki titik fokus yang didefinisikan sebagai;
X^2 / 4Y = F,
dimana Y adalah fungsi kuadrat X^2 - 15X + 6. Substitusikan, maka akan dihasilkan;
X^2 / 4(X^2 - 15X + 6) = F
X^2 / 4X^2 - 60X + 24 = F
Kita ambil sebarang titik X, anggap 37. Substitusikan, maka akan dihasilkan;
(37)^2 / 4(37)^2 - 60(37) + 24 = F
1369 / 4(1369) - 2220 + 24 = F
1369 / 5476 - 2220 + 24 = F
1369 / 3280 = F
0.4173 = F
Maka, ditemukan bahwa fokus dari cermin parabola tersebut adalah 0.4173 meter.
No comments:
Post a Comment