Karakteristik Fungsi Kuadrat

 

KARAKTERISTIK FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki pengubah atau variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).Bentuk umum dari fungsi kuadrat ialah sebagai berikut:

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

Fungsi kuadrat memiliki identitas atau ciri-ciri sebagai berikut:

 - Titik potong terhadap sumbu x adalah ketika memasukkan y = 0 dalam fungsi kuadrat.

 - Titik potong terhadap sumbu y adalah ketika memasukkan x = 0 dalam fungsi kuadrat.

 - Memiliki persamaan sumbu simetri x = -b/2a, yang mana sumber simetri adalah titik yang mengakibatkan nilai y fungsi kuadrat maksimum atau minimum.

 - Titik balik atau titik infleksi adalah koordinat titik maksimum dan minimum dari fungsi kuadrat.

 - Memiliki nilai maksimum atau minimum, yaitu -D/4a = - b² – 4ac/4a.

 

Jika ditinjau berdasarkan nilai a, b, c dan D = b² – 4ac terhadap grafik Fungsi Kuadrat, ada beberapa hubungan yang bisa kita ambil;

• Berdasarkan nilai a

 - a>0: grafik parabola terbuka keatas

 - a<0: grafik parabola terbuka kebawah

• Berdasarkan nilai a dan b

  - a > 0 dan b > 0: Titik puncak grafik parabola berada di kiri

  - a < 0 dan b < 0: Titik puncak grafik parabola berada di kiri

  - a > 0 dan b < 0: Titik puncak grafik parabola berada di kanan

  - a < 0 dan b > 0: Titik puncak grafik parabola berada di kanan

  - a < 0 dan b = 0: grafik parabola berada di tengah

  - a > 0 dan b = 0: grafik parabola berada di tengah

• Berdasarkan nilai c

  - c > 0: grafik parabola memotong sumbu y di titik y positif

  - c = 0: grafik parabola memotong di titik (0,0)

  - c < 0: grafik parabola memotong sumbu y di titik y negatif

• Berdasarkan nilai D

 - D > 0: grafik parabola memotong sumbu x di dua titik

 - D = 0: grafik parabola menyinggung sumbu x

 - D < 0: grafik parabola tidak memotong sumbu x

 

Contoh soal:

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor 1&2

 

 

1. Tentukan parabola yang terbuka ke atas dan ke bawah.

Jawab: Jembatan A adalah parabola yang terbuka ke atas yang berarti fungsi kuadratnya memiliki nilai a lebih besar dari nol. Sedangkan, jembatan B adalah parabola terbuka ke bawah yang berarti fungsi kuadratnya memiliki nilai a lebih kecil dari nol.

2. Bandingkan kedua parabola. Menurut kalian, parabola mana lebih lebar terbukanya? Konstanta dari fungsi kuadrat y = f(x) = ax² + bx + c mana yang menentukan?

Jawab: Yang menentukan lebar terbukanya parabola fungsi kuadrat adalah nilai a-nya. Makin kecil nilai a nya (a mendekati nol), maka makin besar juga lebar parabolanya. Sebaliknya, makin besar nilai a, maka makin sempit parabolanya.

3. Fungsi kuadrat yang terbuka ke atas adalah … (Jawaban bisa lebih dari satu)

a. f(x) = 3x² + 4x + 1

b. f(x) = -4x² + 4x + 5

c. f(x) =-3x² + 4x +1

d. f(x) = 4x² + 4x + 5

Jawab: Karakteristik fungsi kuadrat yang grafiknya terbuka ke atas adalah yang memiliki nilai a lebih besar dari nol (a > 0). Sehingga, dari keempat fungsi kuadrat di atas, yang grafiknya terbuka ke atas adalah fungsi a dan d.

4. Fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah adalah … (Jawaban bisa lebih dari satu)

a. f(x) = x² + 2x + 1

b. f(x) = -2x² + 3x + 5

c. f(x) = -3x² + 8x - 1

d. f(x) = 4x² + 11x – 7

Jawab: Fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah adalah fungsi yang memiliki nilai a kurang dari 0 (a < 0). Sehingga, dari keempat fungsi kuadrat di atas yang grafiknya terbuka ke bawah adalah fungsi kuadrat b dan c.

5. Grafik fungsi y = ax²+ bx + c tampak seperti pada gambar berikut.

Jika nilai diskriminannya dinyatakan oleh D, maka pernyataan yang benar adalah...

 

 

 

 

 

Jawab: Parabola terbuka ke bawah, artinya a bernilai negatif. Parabola tidak memotong sumbu X, artinya D bernilai negatif. Parabola memotong sumbu Y di bawah sumbu X, artinya c bernilai negatif. Jadi, pernyataan yang benar adalah a < 0 ; c < 0 ; D < 0

 

 

6. Gambar kurva parabola berikut merupakan grafik dari fungsi kuadrat yang berbentuk...

 

 

 

 

 

Jawab: Dari gambar, parabola tersebut tampak memiliki puncak di (Xp , Yp) = (2 , 4). Dengan demikian, fungsi kuadratnya akan berbentuk:

f(x) = a (x – Xp)² + Yp

=> f(x) = a (x – 2)² + 4

Apabila parabola terbuka ke atas (seperti huruf U), maka nilai a > 0, begitu sebaliknya. Dari gambar, parabola terbuka ke bawah (seperti huruf n) sehingga a < 0. Jadi bentuknya adalah f(x) =  a (x – 2)² + 4 dengan a < 0.

7. Jika grafik fungsi f(x) = ax²+bx+c mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-x negatif, maka...

Jawab: Dengan memperhatikan titik puncak (8,4) berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu x negatif berarti kurva terbuka kebawah (a < 0), karena jika terbuka keatas maka kurva tidak akan pernah memotong sumbu x.

Dengan memperhatikan titik puncak (8,4) berada pada kwadran I dan kurva terbuka kebawah (a < 0) maka nilai b bisa kita tafsir dari titik Xp = −b/2a ⇒ 8 = − b/2a. Karena nilai −b/2a = 8 dan a < 0 maka b > 0.

Dengan memperhatikan titik puncak (8,4) berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu x negatif berarti kurva memotong sumbu y positif (c > 0). Karena tidak mungkin kurva dari titik (8,4) dan terbuka kebawah melalui sumbu y negatif. Jadi, kesimpulan akhir adalah a < 0 ; b > 0 ; c > 0

 

 

 

 

 

8. Perhatikan gambar berikut ini.

Jika grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c seperti pada gambar, nilai a, b, dan c yang memenuhi adalah....

 

 

 

 

 

 

Jawab: Untuk menentukan keadaan nilai a, b, dan c pada grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat kita ketahui dengan melihat keadaan parabola dari gambar tanpa harus menentukan nilai a, b, dan c.

- Parabola terbuka keatas sehingga nilai a > 0

- Parabola memotong sumbu –y diatas sumbu –x sehingga nilai c > 0

- Titik puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu –y maka Xp = –b/2a bernilai negatif. Nilai a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0.

Jadi, nilai yang memenuhi adalah a > 0, b > 0, dan c > 0

 

 

 

Kelompok 1:

- Diva Zahra A. (11)

- Falihah Nailatusy S. (13)

- Hafiz Abiyyu F. (15)

- Indana Zulfa (16)

- Khalisa Nazanin F. Z. (17)

- Maulana Rizki M. (20)

- Nafisah Fanindra P. (25)

- Naura Aqila Z. (26)

- Sofiatul Hasanah (33)