Cara Menggambar Fungsi Kuadrat

Karakteristik Fungsi Kuadrat

 

KARAKTERISTIK FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki pengubah atau variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).Bentuk umum dari fungsi kuadrat ialah sebagai berikut:

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

Fungsi kuadrat memiliki identitas atau ciri-ciri sebagai berikut:

 - Titik potong terhadap sumbu x adalah ketika memasukkan y = 0 dalam fungsi kuadrat.

 - Titik potong terhadap sumbu y adalah ketika memasukkan x = 0 dalam fungsi kuadrat.

 - Memiliki persamaan sumbu simetri x = -b/2a, yang mana sumber simetri adalah titik yang mengakibatkan nilai y fungsi kuadrat maksimum atau minimum.

 - Titik balik atau titik infleksi adalah koordinat titik maksimum dan minimum dari fungsi kuadrat.

 - Memiliki nilai maksimum atau minimum, yaitu -D/4a = - b² – 4ac/4a.

 

Jika ditinjau berdasarkan nilai a, b, c dan D = b² – 4ac terhadap grafik Fungsi Kuadrat, ada beberapa hubungan yang bisa kita ambil;

• Berdasarkan nilai a

 - a>0: grafik parabola terbuka keatas

 - a<0: grafik parabola terbuka kebawah

• Berdasarkan nilai a dan b

  - a > 0 dan b > 0: Titik puncak grafik parabola berada di kiri

  - a < 0 dan b < 0: Titik puncak grafik parabola berada di kiri

  - a > 0 dan b < 0: Titik puncak grafik parabola berada di kanan

  - a < 0 dan b > 0: Titik puncak grafik parabola berada di kanan

  - a < 0 dan b = 0: grafik parabola berada di tengah

  - a > 0 dan b = 0: grafik parabola berada di tengah

• Berdasarkan nilai c

  - c > 0: grafik parabola memotong sumbu y di titik y positif

  - c = 0: grafik parabola memotong di titik (0,0)

  - c < 0: grafik parabola memotong sumbu y di titik y negatif

• Berdasarkan nilai D

 - D > 0: grafik parabola memotong sumbu x di dua titik

 - D = 0: grafik parabola menyinggung sumbu x

 - D < 0: grafik parabola tidak memotong sumbu x

 

Contoh soal:

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor 1&2

 

 

1. Tentukan parabola yang terbuka ke atas dan ke bawah.

Jawab: Jembatan A adalah parabola yang terbuka ke atas yang berarti fungsi kuadratnya memiliki nilai a lebih besar dari nol. Sedangkan, jembatan B adalah parabola terbuka ke bawah yang berarti fungsi kuadratnya memiliki nilai a lebih kecil dari nol.

2. Bandingkan kedua parabola. Menurut kalian, parabola mana lebih lebar terbukanya? Konstanta dari fungsi kuadrat y = f(x) = ax² + bx + c mana yang menentukan?

Jawab: Yang menentukan lebar terbukanya parabola fungsi kuadrat adalah nilai a-nya. Makin kecil nilai a nya (a mendekati nol), maka makin besar juga lebar parabolanya. Sebaliknya, makin besar nilai a, maka makin sempit parabolanya.

3. Fungsi kuadrat yang terbuka ke atas adalah … (Jawaban bisa lebih dari satu)

a. f(x) = 3x² + 4x + 1

b. f(x) = -4x² + 4x + 5

c. f(x) =-3x² + 4x +1

d. f(x) = 4x² + 4x + 5

Jawab: Karakteristik fungsi kuadrat yang grafiknya terbuka ke atas adalah yang memiliki nilai a lebih besar dari nol (a > 0). Sehingga, dari keempat fungsi kuadrat di atas, yang grafiknya terbuka ke atas adalah fungsi a dan d.

4. Fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah adalah … (Jawaban bisa lebih dari satu)

a. f(x) = x² + 2x + 1

b. f(x) = -2x² + 3x + 5

c. f(x) = -3x² + 8x - 1

d. f(x) = 4x² + 11x – 7

Jawab: Fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah adalah fungsi yang memiliki nilai a kurang dari 0 (a < 0). Sehingga, dari keempat fungsi kuadrat di atas yang grafiknya terbuka ke bawah adalah fungsi kuadrat b dan c.

5. Grafik fungsi y = ax²+ bx + c tampak seperti pada gambar berikut.

Jika nilai diskriminannya dinyatakan oleh D, maka pernyataan yang benar adalah...

 

 

 

 

 

Jawab: Parabola terbuka ke bawah, artinya a bernilai negatif. Parabola tidak memotong sumbu X, artinya D bernilai negatif. Parabola memotong sumbu Y di bawah sumbu X, artinya c bernilai negatif. Jadi, pernyataan yang benar adalah a < 0 ; c < 0 ; D < 0

 

 

6. Gambar kurva parabola berikut merupakan grafik dari fungsi kuadrat yang berbentuk...

 

 

 

 

 

Jawab: Dari gambar, parabola tersebut tampak memiliki puncak di (Xp , Yp) = (2 , 4). Dengan demikian, fungsi kuadratnya akan berbentuk:

f(x) = a (x – Xp)² + Yp

=> f(x) = a (x – 2)² + 4

Apabila parabola terbuka ke atas (seperti huruf U), maka nilai a > 0, begitu sebaliknya. Dari gambar, parabola terbuka ke bawah (seperti huruf n) sehingga a < 0. Jadi bentuknya adalah f(x) =  a (x – 2)² + 4 dengan a < 0.

7. Jika grafik fungsi f(x) = ax²+bx+c mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-x negatif, maka...

Jawab: Dengan memperhatikan titik puncak (8,4) berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu x negatif berarti kurva terbuka kebawah (a < 0), karena jika terbuka keatas maka kurva tidak akan pernah memotong sumbu x.

Dengan memperhatikan titik puncak (8,4) berada pada kwadran I dan kurva terbuka kebawah (a < 0) maka nilai b bisa kita tafsir dari titik Xp = −b/2a ⇒ 8 = − b/2a. Karena nilai −b/2a = 8 dan a < 0 maka b > 0.

Dengan memperhatikan titik puncak (8,4) berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu x negatif berarti kurva memotong sumbu y positif (c > 0). Karena tidak mungkin kurva dari titik (8,4) dan terbuka kebawah melalui sumbu y negatif. Jadi, kesimpulan akhir adalah a < 0 ; b > 0 ; c > 0

 

 

 

 

 

8. Perhatikan gambar berikut ini.

Jika grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c seperti pada gambar, nilai a, b, dan c yang memenuhi adalah....

 

 

 

 

 

 

Jawab: Untuk menentukan keadaan nilai a, b, dan c pada grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat kita ketahui dengan melihat keadaan parabola dari gambar tanpa harus menentukan nilai a, b, dan c.

- Parabola terbuka keatas sehingga nilai a > 0

- Parabola memotong sumbu –y diatas sumbu –x sehingga nilai c > 0

- Titik puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu –y maka Xp = –b/2a bernilai negatif. Nilai a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0.

Jadi, nilai yang memenuhi adalah a > 0, b > 0, dan c > 0

 

 

 

Kelompok 1:

- Diva Zahra A. (11)

- Falihah Nailatusy S. (13)

- Hafiz Abiyyu F. (15)

- Indana Zulfa (16)

- Khalisa Nazanin F. Z. (17)

- Maulana Rizki M. (20)

- Nafisah Fanindra P. (25)

- Naura Aqila Z. (26)

- Sofiatul Hasanah (33)

 

Soal Cerita Persamaan Kuadrat

1.  Sebuah mobil sedang menuruni bukit dari atas ke bawah. Ketinggian mobil setiap detiknya dinyatakan dengan  rumus h(x) = 120 + 2t - t². Berdasarkan rumus kapan mobil akan sampai di bawah bukit ?

Pembahasan :

h(x) = 0

0 = 120 + 2t - t²

t² - 2t -120 = 0

(t-12)(t+10) = 0

t = 12 atau t = -10

Karena tidak ada waktu yang nilainya negatif. Jadi yang cocok adalah t = 12, yaitu mobil akan sampai di bawah bukit dalam waktu 12 detik.

2. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan dengan h(t)=-4t²+40t. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan.

Pembahasan:

h(t)=-4t²+40t

    y=-4x²+40x

 Xp=-b/2a=-40/2(-4)

                 =-40/-8=5 detik

h(5)=-4(5)²+40(5)

       =-4(25)+200

       =-100+200

       =100 meter

3. Jumlah dua kali sisi samping dengan sisi depan suatu segitiga siku-siku adalah 24 cm. Dengan menggunakan model matematika dalam bentuk fungsi kuadrat, maka nilai terbesar untuk luas segitiga tersebut adalah

Pembahasan :

Misalkan sisi samping x dan sisi depan y. 

Jumlah sisi : 

=> 2x + y = 24 

=> y = 24-2x 

Model matematika untuk luas segitiga => L= ½ alas x tinggi 

=> L= ½ x.y L= ½ x (24 - 2x) 

=> L=12x-x2 

=> L = -x² + 12x 

Model matematika untuk luasnya adalah : 

=> L(x) = -x² + 12x 

Dik a = =-1, b = 12, c = 0.

untuk menentukan luas terbesar, dapat digunakan rumus sebagai berikut : 

=> L = - b² - 4. a. c / 4.a

=> L = - 12²-4.(1).0 / 4(-1)

=> L = 36 cm²

4. Seorang siswa memotong selembar kain. Kain hasil potongannya berbentuk persegi panjang dengan keliling 80 cm. Apabila siswa tersebut berharap mendapatkan kain hasil potongan mempunyai luas maksimum, tentukan panjang dan lebar kain.

pembahasan:

K => 2 (P+L)=80

              P+L=40

                   L=40-p

                          

                  L = 40-20

                  L = 20 cm

L=P×L

  =p (40-p)

L=40p-p²

Y=40x-x²

  Xp= -b/2a= -40/4(-1) = 20

                                      p= 20 cm

5. Lia menaiki sebuah balon udara,dimana dalam waktu X balon udara memiliki fungsi f(x)=-16x²+112x-91.

Tentukan tinggi maksimum balon udara tersebut

Pembahasan :

Fungsi f(x) = - 16x ^ 2 + 112x - 91 merupakan tinggi balon udara

a = - 16 < 0 (negatif)

 b = 112 

c = - 91

maka grafik terbuka ke bawah dan grafik memiliki titik puncak maksimum

Tinghi maksimum

ye = - D / 4a

=-(b²-4ac)/4a

=-(112²-4.(-16).(-91))/(4.(-16))

=-6720/(-64)

= 105 meter

6. Seutas kawat sepanjang 80 cm akan dibentuk menjadi sebuah persegi panjang. Tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.

pembahasan: 

L=P x l

K=2( p + l ) 

80 = 2 ( p + l ) 

p + l = 40

l = 40-p

L= p x l

= p x ( 40 -p ) 

L = 40p - p ^ 2

1 = 40.2 - 40n

= 800 - 400

400 cm ²

k = -b/2a

p= -40/2(-1) 

= -20

7. Om Ali memiliki pabrik sandal dan memproduksi x pasang sandal setiap jam dengan biaya produksi (2x - 60 + 600/x) ribu rupiah setiap pasang. biaya produksi total minimum perjam adalah… 

A. Rp. 10.000,00

B. Rp. 15.000,00

C. Rp. 150.000,00

D. Rp. 250.000,00 

Jawaban : 

biaya = (2x - 60 + 600/x)

        y = 2x² - 60x + 600

yp = -D/4a 

     = - (b² - 4ac/4a)

     = - ((-60)² - 4.2.600/4.2)

     = - (3600 - 4800/8)

     = - (-1200/8) 

     = 150 

Jadi, biaya produksi total minimum perjam adalah Rp. 150.000,00 (C)

8. Jumlah dua bilangan x dan y sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu dinyatakan dengan P, maka persamaan P sebagai fungsi x adalah ....

Pembahasan:

Jumlah bilangan: 

=> x + y = 20

=> y = 20 - x

Hasil kali: 

=> P = x.y

=> P = x (20 - x) 

=> P = 20x - x²

=> P = -x² + 20x

Jadi model matematika untul P sebagai fungsi x adalah:

=> P(x) = -x² + 20x

9. Seorang ahli optik hendak membuat teleskop pantul Newtonian, dimana ia harus membubut permukaan kaca sedemikian rupa, sehingga akan membentuk permukaan parabola. Barulah kemudian ia dapat melapisi kaca dengan lapisan pemantul.

Jika cermin yang ingin dibuatnya memiliki fungsi kuadrat sebagai X^2 - 15X + 6, berapa titik fokus cermin itu? (Semua satuan adalah baku [m, kg, s])

Solusi:

Suatu kurva parabola memiliki titik fokus yang didefinisikan sebagai;

X^2 / 4Y = F,

dimana Y adalah fungsi kuadrat X^2 - 15X + 6. Substitusikan, maka akan dihasilkan;

X^2 / 4(X^2 - 15X + 6) = F

X^2 / 4X^2 - 60X + 24 = F

Kita ambil sebarang titik X, anggap 37. Substitusikan, maka akan dihasilkan;

(37)^2 / 4(37)^2 - 60(37) + 24 = F

1369 / 4(1369) - 2220 + 24 = F

1369 / 5476 - 2220 + 24 = F

1369 / 3280 = F

0.4173 = F

Maka, ditemukan bahwa fokus dari cermin parabola tersebut adalah 0.4173 meter.

3 Cara Menentukan Fungsi Kuadrat Dari Grafiknya

 

3 Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Jika Diketahui Grafiknya

 

Ada 3 cara mengetahui persamaan grafik fungsi kuadrat dari gambar. Cara ini disesuaikan dengan informasi yang diberikan pada gambar. Cara pertama untuk gambar grafik fungsi kuadrat yang diketahui dua titik potong pada sumbu x. Kedua, adalah cara menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat dari gambar jika diketahui titik puncak dan titik potong dengan sumbu y. Cara ketiga yaitu untuk mengetahui persamaan grafik fungsi kuadrat dari gambar jika diketahui tiga titik pada grafik fungsi.

 

1)   Diketahui Dua Titik Potong Grafik dengan Sumbu X

Titik potong dengan sumbu x terjadi ketika nilai y = 0. Sebuah grafik fungsi kuadrat paling banyak dapat memotong sumbu x sebanyak dua kali. Terdapat grafik fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu x. Ada juga grafik fungsi kuadrat yang hanya memotong sumbu x di satu titik.

 

Perhatikan gambar grafik fungsi kuadrat yang melalui dua buah titik pada sumbu x. Serta sebuah titik sembarang pada grafik berikut.

Cara mengetahui persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui sumbu x pada dua titik bisa dilakukan cara ini. Misalkan diketahui sebuah grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (x1, 0) dan (x2, 0). Persamaan yang mewakili persamaan kuadrat tersebut adalah y = (x – x1)(x – x2) = 0.

 

Bentuk umum persamaan kuadrat di atas berlaku saat grafik memotong sumbu x di A( x1, 0 ), B( x2, 0 ) dan C (x3, y3). Untuk menambah pemahaman sobat idschool, perhatikan contoh soal dan pembahasannya berikut.

 

Contoh 1: Menentukan Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Gambar

Perhatikan gambar di bawah!

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di atas adalah ….

A.   y = x² – ½x – 8

B.   y = x² – ½x – 4

C.   y = ½x² – x – 4

D.   y = ½x² – x – 8

E.   y = ½x² – 2x – 8

 

Pembahasan:

 

Diketahui dua titik yang memotong sumbu x adalah  (–2, 0) dan (4, 0). Diketahui juga sebuah titik pada grafik fungsi kuadrat (0, –4).

 

Mencari nilai A:

Y = a (x – x1)(x – x2)

–4 = a(0 – (–2))(0 – 4)

–4 = a × 2 × (–4)

–4 = a(–8)

A = –4/–8

A = ½

Mencari persamaan kuadrat:

Y = a(x – x1)(x – x2)

Y = ½ (x + 2)(x – 4)

Y = ½ (x² – 2x – 8)

Y = ½x² – x – 4

 

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di atas adalah y = ½x² – x – 4.

 

Jawaban: C

2)   Diketahui Titik Puncak dan Titik Potong dengan sumbu – y

Berikutnya adalah kondisi soal untuk gambar grafik fungsi kuadrat dengan titik puncak dan satu titik memotong sumbu y. Bentuk umum persamaan kuadrat yang digunakan untuk menyelesaikan jenis soal ini adalah y = a(x – xp) + yp. Perhatikan gambar grafik fungsi kuadrat dengan diketahui titik puncak (xp, yp) dan satu titik pada grafik fungsi kuadrat berikut.

Contoh 2: Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Gambar

Pembahasan:

 

Diketahui dari gambar grafik fungsi pada soal:

 

Koordinat titik puncak (1, –1)

Grafik melalui titik (0, –3)

Mencari nilai a:

Y = a(x – xp)2 + yp

–3 = a(0 – 1)2 + (–1)

–3 = a × 1 – 1

–3 = a – 1

A = –3 + 1 = –2

Mencari persamaan kuadrat:

Y = –2(x – 1)2 + (–1)

Y = –2(x2 – 2x + 1) –1

Y = –2x2 + 4x – 3

 

Jawaban: A

 

3)   Diketahui Tiga Titik Sembarang pada Grafik Fungsi Kuadrat

Cara yang ketiga adalah untuk mengetahui persamaan grafik fungsi kuadrat dengan diketahui tiga titik koordinat. Tiga titik koordinat tersebut terletak pada grafik fungsi kuadrat. Kondisi soal seperti ini bisa diselesaikan dengan menggunakan bentuk umum persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c.

Substitusikan ketiga titik koordinat pada grafik fungsi kuadrat sehingga diperoleh tiga persamaan linear. Tiga buah persamaan linear tersebut terdiri dari tiga buah variabel a, b, dan c. Selanjutnya, gunakan metode elimiasi dan substitusi untuk mendapatkan nilia a, b, dan c. Pada akhirnya akan diperoleh persamaan kuadrat yang sesuai.

 

Contoh 3: Soal Menentukan Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Gambar

Persamaan dari grafik fungsi di atas adalah ….

A. f(x) = 4/5 x2 – x – 4/5

B. f(x) = 3x2 – 4/5x – 4/5

C. f(x) = 4/5x2 – 3x + 4/5

D. f(x) = 4/5x2 + 3x – 4/5

E. f(x) = 4/5x2 – 3x – 4/5

 

Grafik fungsi di atas melalui tiga buah titik yaitu (–1, 3), (1, –3), dan (4, 0). Bentuk umum persamaan kuadrat yang digunakan adalah: y = ax2 + bx + c.

 

Substitusi tiga titik pada bentuk umum persamaan kuadrat:

• Persamaan (1): untuk titik (–1, 3)

F(x) = ax2 + bx + c

3 = a(–1)2 + b(–1) + c

3 = a – b + c → a – b + c = 3

 

• Persamaan 2: untuk titik (1, –3)

F(x) = ax2 + bx + c

–3 = a(1)2 + b(1) + c

–3 = a + b + c → a + b + c = –3

 

•Persamaan 3: untuk titik (4, 0)

F(x) = ax2+bx+c

0 = a(4)2 + b(4) + c

0 = 16a–4b+c → 16a–4b + c = 0

 

Berikutnya adalah mencari nilai a, b, dan c dengan metode eliminasi dan subsitusi. Eliminasi a dan b dari persamaan (1) dan (2) untuk mendapatkan nilai b:

Diperoleh nilai b = –3, selanjutnya adalah mencari nilai a dan c. Eliminasi c dari persamaan (1) dan (3):

Subtitusi nilai b = –3 pada persamaan 15a + 5b = – 3 untuk mendapatkan nilai a.

 

15a + 5(–3) = –3

15a = –3+15

15a = 12

A = 12/15 = 4/5

 

Substitusikan nilai a = 4/5 dan b = – 3 ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai c:

A – b + c = 3

4/5 – (–3) + c = 3

4/5 + 3 + c = 3

C = 3 – 3 – 4/5

C = – 4/5

 

Langkah terakhir, substitusi nilai a, b, dan c yang diperoleh pada bentuk umum persamaan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c. Jadi persamaan grafik fungsi kuadrat di atas adalah f(x) = 4/5x2 + (–3)x + (–4/5) = 4/5x2 – 3x – 4/5.

 

Jawaban: E

 

Demikian penjesalan dan pembahasan dari kelompok kami, semoga bisa membantu.

 

Anggota kelompok:

-Adyan I. V. (2)

-Laisha D. (18)

-Landhoeng S. M. (19)

-M. Akhdan H. M. (21)

-Naaila Izzata (24)

-Rafi Maulana P. (27)

-Rennanditya V. N. P. (29)

-Syella N. R. (34)

-Tiara A. W. (35)

 

Sumber:

 

https://idschool.net/sma/cara-menentukan-persamaan-grafik-fungsi-kuadrat-dari-gambar/?amp